Question

【题目】已知数列的前n项的和Sn，点（n，Sn）在函数=2x2+4x图象上：

（1）证明是等差数列；

（2）若函数，数列{bn}满足bn=，记cn=anbn，求数列前n项和Tn；

（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 数列{an}的通项公式为an=4n+2;(2) Tn=10﹣（2n+5） ;(3) 实数λ=1,见解析.

【解析】试题分析：（1）要求数列的通项公式，利用，然后把 代入验证；
（2）由函数 ，数列满足 ，利用错位相减法可得数列{ 前 项和
（3）假设存在实数 ，使得当 时，

对任意 恒成立，即对任意恒成立，由

是递增数列，能推导出存在最大的实数 ，使得当 时， 对任意恒成立

试题解析;（1）由题意，Sn=2n2+4n，

当n=1时，a1=S1=6，

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+4n）﹣[2（n﹣1）2+4（n﹣1）]=4n+2，

当n=1时，a1=S1=4+2=6，也适合上式

∴数列{an}的通项公式为an=4n+2，n∈N*；是等差数列

（2）∵函数g（x）=2﹣x，

∴数列{bn}满足bn=g（n）=2﹣n，

又∵cn=anbn，

∴Tn=6×2﹣1+10×2﹣2+14×2﹣3+…+（4n+2）×2﹣n，…①，

∴Tn=6×2﹣2+10×2﹣3+…+（4n﹣2）×2﹣n+（4n+2）×2﹣（n+1），…②，

①﹣②得：

（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意

n∈N*恒成立，即任意n∈N*恒成立，

∵an=4n+2，是递增数列，

所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．

所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．