Question

【题目】已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为，D是AB的中点．

（1）求动点D的轨迹C的方程；

（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，当|PQ|＝3时，求直线l的方程。

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝3.（2）.

【解析】试题分析：（1）设A(a，a)，B(b，－b),根据AB的长为2得(a－b)2＋(a＋b)2＝12，再根据D是AB的中点得a－b=2y,a+b=2x,代入化简可得点D的轨迹C的方程（2）设直线点斜式方程，根据垂径定理列式解斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意

试题解析：解：　(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),

∵D是AB的中点， ∴x＝，y＝，

∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，

∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3.

(2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，

此时|PQ|＝2，不符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，

由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，

由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).