Question

【题目】已知函数.

（1）若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；

（2）设，若有极大值点，求证： .

Answer 1

【答案】（1）; （2）详见解析.

【解析】试题分析：

（1）本题考查导数的几何意义，求出导函数，由题意方程在上有实根，利用二次方程根的分布知识可求得的范围；

（2）由题意可知是的两根，从而有，分析知极大值点满足，于是都可用表示，也即不等式中三个参数可化为关于一个参数的不等式，这样下面可利用导数研究相应函数的性质证明出题设不等式．注意范围．

解析：

（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以在上有解,即在上有解，也即在上有解，所以，得,故所求实数的取值范围是.

（2）因为,因为,

①当时，单调递增无极值点，不符合题意.

②当或时，令，设的两根为和，因为为函数的极大值点，所以，又，所以，所以，则,要证明，只需要证明因为，，令，,所以，记，，则,当时，，当时，，所以，所以,所以在上单调递减，所以，原题得证.