Question

【题目】已知，函数，函数．

（1）当函数图象与轴相切时，求实数的值；

（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，讨论函数在区间上的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，在区间有1个零点，当时，在区间内无零点．

【解析】

（1）设切点，由导数的几何意义为切线的斜率构建方程，求得答案；

（2）结合已知表示函数的解析式，对其求导，由导函数解析式可知在单调递增，再分类讨论当，当，两种情况下的单调性和最值即可；

（3）结合已知表示函数的解析式，对其求导，由导函数解析式可知在单调递减，分类讨论当时，易证，无零点；当时，由不等式性质与单调性易证得有1个零点；当时，由零点的存在性定理可知存在唯一，使得，再利用导数分析单调性，进而分析出此时无零点.

（1）由题得设切点，，

所以，

，解得；

（2），

因为在单调递增，所以在单调递增，

所以．

当，，在单调递增，

所以恒成立，所以．

当，，

所以，

当，

所以，使得，

当，，在单调递减，

所以时，，与矛盾舍去．

综上 ．

（3），，在单调递减．

当时，，因为，

所以，即在单调递增．

则，所以在区间内无零点．

当时，，

所以，

，所以存在唯一，使得．

所以在区间有1个零点．

当时，

在单调递减，

所以存在唯一，使得，

当，，在单调递增，

当，，在单调递减，

所以当时，最大值为，

代入得，，

因为，所以，故，

所以，在在区间内无零点．

综上，当时，在区间有1个零点，

当时，在区间内无零点．