Question

14．复数z=（sinθ-2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（　　）

• A． -$\frac{5}{2}$
• B． -$\frac{2}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由复数z的实部为0且虚部不为0求得tanθ，再把sinθcosθ转化为含有tanθ的代数式得答案．

解答 解：∵复数z=（sinθ-2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ-2cosθ=0}\\{sinθ+2cosθ≠0}\end{array}\right.$，解得tanθ=2．
则sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}=\frac{tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}=\frac{2}{{2}^{2}+1}=\frac{2}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查复数的基本概念，考查了三角函数的化简求值，是基础题．