Question

3．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1．
（1）求f（x）的单调增区间
（2）用“五点法”在给定的坐标系中作出y=f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．

Answer 1

分析 （1）将三角函数进行化简，然后根据正弦函数的单调性即可得到结论．
（2）列表，描点，连线用五点法即可作函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）在一个周期上的简图．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$SinxCosx+2Cos2x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）列表：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	2	0	-2	0

描点，连线，作图如下：

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，利用倍角公式和辅助角公式将函数f（x）进行化简是解决本题的关键，属于基础题．