Question

15．（1）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？（用两种不同的方法求解）
（2）用1、2、3、4这4个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有1个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数有多少个？

Answer 1

分析 （1）法1：至少有1个是一等品的不同取法包括恰有1个一等品的不同取法，共有C₁₆¹C₄²；恰有2个一等品的不同取法，共有C₁₆²C₄¹；恰有3个一等品的不同取法，根据分类加法原理得到结果；
法2：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法可得结论；
（2）该问题可看作是一个排列问题，首先由1，3两个数字全排列，形成3个空，则2，4要么在最前边的空和1，3之间形成的空两个空中排列，要么在最后边的空和1，3之间形成的空两个空中排列，则答案可求．

解答 解：（1）法1：由题意知本题是一个分类计数问题，
至少有1个是一等品的不同取法
分三类：恰有1个一等品的不同取法，共有C₁₆¹C₄²
恰有2个一等品的不同取法，共有C₁₆²C₄¹
恰有3个一等品的不同取法，共有C₁₆³
由分类计数原理有：C₁₆¹C₄²+C₁₆²C₄¹+C₁₆³=1136种．
法2：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有C₂₀³-C₁₆³=1136种：；
（2）首先把1，3全排列，得到排法种数为A₂²，
则1，3之间形成三个空，2，4要么在前两个空中全排列，要么在后两个空中全排列，
∴四位数的个数为2A₂²A₂²=8．

点评 本题考查分类、分步计数原理，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．本题是一个中档题．