Question

13．已知命题p：方程x²+2ax+1=0有两个大于-1的实数根，命题q：关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为R，若“p或q”与“￢q”同时为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 判断出q为假命题，P为真命题，并分别求出q是假命题，p是真命题的a的范围，取交集即可．

解答 解：p∨q与￢q同时为真命题，
∵￢q为真命题，∴q为假命题，
∴p为真命题，
命题p：方程x²+2ax+1=0有两个大于-1的实数根，是真命题，
设f（x）=x²+2ax+1，对称轴为x=-a，
方程有两个大于-1的实数根，两根不同时：
只需$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-4＞0}\\{\frac{-2a-\sqrt{{4a}^{2}-4}}{2}＞-1}\end{array}\right.$，
解得：a＜-1①，
两根相同时，a=-1，
综上：a≤-1；
由q为假命题，即关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为R是假命题，
a=0时，1＞0恒成立，不符合题意，
a≠0时，则需△=a²-4a≥0，
解得：a≤0或a≥4，
故q为假时：a＜0或a≥4②，
综合①②a≤-1．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．