Question

已知x，y，z∈Z，且满足x+y+z=3，x³+y³+z³=3，求x²+y²+z²所有可能的值组成的集合．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：设x²+y²+z²=t，则xy+yz+xz=

9-t

2

，利用x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），可得xyz=

11-3t

2

，即可得出结论．

解答： 解：设x²+y²+z²=t，则
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz），
即9=t+2（xy+yz+xz），
∴xy+yz+xz=

9-t

2

，
∵x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
∴3-3xyz=3（t-

9-t

2

），
∴xyz=

11-3t

2

，
∵x，y，z∈Z，t＞0，
∴t=1，3，
∴x²+y²+z²所有可能的值组成的集合为{1，3}．

点评：本题主要考查立方公式的知识点，解答本题的关键是求出xyz=

11-3t

2

．