Question

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M.是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得∴b＝.

所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.

(2) 由＝e＝，得PF＝PM.∴PF≠PM.

①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．

②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，∴9＋y²＝16－8x＋x².又由＋＝1，得y²＝3－x².∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，

∴x²－8x＋4＝0.∴7x²－32x＋16＝0.∴x＝或x＝4.

∵x∈(－2，2)，∴x＝.∴P.综上，存在点P，使得△PFM为等腰三角形．