Question

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，

过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.

(1) 求椭圆方程；

(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；

(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

解：(1) ∵ e＝ 不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵ P在椭圆上，∴＝1解得k＝1，∴ 椭圆方程为＋＝1.

(2) k_AP＝＝－ , 则直线AP的方程为y＝－x＋4，

令y＝t ，则x＝ ∴ M.∵ Q(0，t)∴ N，

∵ 圆N与x轴相切，∴＝t ，由题意M为第一象限的点，则＝t，解得t＝.∴ N，圆N的方程为

(3) F(3，0)，k_PF＝，∴ 直线PF的方程为y＝(x－3)即12x－5y－36＝0，

∴ 点N到直线PF的距离为，

∴ d＝＋(4－t)，∵ 0<t<4，

∴ 当0<t≤时，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，

此时≤d<，

当<t<4时，d＝(5t－6)＋(4－t)＝，此时<d<，

∴ 综上， d的取值范围为.