Question

给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.

(1) 求椭圆C和其“准圆”的方程；

(2) 若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；

(3) 在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

Answer 1

解：(1) 由题意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故椭圆C的方程为＋y²＝1，其“准圆”方程为x²＋y²＝4.

(2) 由题意，可设B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，则有＋n²＝1，又A点坐标为(2，0)，故＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，故·＝(m－2)²－n²＝m²－4m＋4－＝m²－4m＋3＝，又－<m<，故∈[0，7＋4]，所以的取值范围是[0，7＋4)．

(3) 设P(s，t)，则s²＋t²＝4.当s＝±时，t＝±1，则l₁，l₂其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l₁⊥l₂.当s≠±时，设过P(s，t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则l的方程为y－t＝k(x－s)，代入椭圆C方程可得x²＋3[kx＋(t－ks)]²＝3，即(3k²＋1)x²＋6k(t－ks)x＋3(t－ks)²－3＝0，由Δ＝36k²(t－ks)²－4(3k²＋1)[3(t－ks)²－3]＝0，可得(3－s²)k²＋2stk＋1－t²＝0，其中3－s²＝0，设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂是上述方程的两个根，故k₁k₂＝＝－1，即l₁⊥l₂.综上可知，对于椭圆C上的任意点P，都有l₁⊥l₂.