Question

5．已知三个正实数a，b，c满足b＜a+c≤2b，a＜b+c≤2a，则$\frac{a}{b}$的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 将不等式进行转化，利用不等式的性质建立关于$\frac{b}{a}$的不等式关系，即可得到结论．

解答 解：∵三个正数a，b，c，满足b＜a+c≤2b，a＜b+c≤2a，
∴$\frac{b}{a}$＜1+$\frac{c}{a}$≤$\frac{2b}{a}$，1＜$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$≤2
即-$\frac{2b}{a}$≤-1-$\frac{c}{a}$＜-$\frac{b}{a}$，
不等式的两边同时相加得1-$\frac{2b}{a}$＜$\frac{b}{a}$-1＜2-$\frac{b}{a}$，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{2b}{a}＜\frac{b}{a}-1}\\{\frac{b}{a}-1＜2-\frac{b}{a}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}＞\frac{2}{3}}\\{\frac{b}{a}＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{2}{3}$＜$\frac{b}{a}$＜$\frac{3}{2}$，即$\frac{2}{3}$＜$\frac{a}{b}$＜$\frac{3}{2}$，
即$\frac{a}{b}$的取值范围为（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$），
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用不等式的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．