Question

16．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{CM}$，则$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{AC}$的值为12．

Answer 1

分析 首先分别以DC，DA二直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D四点的坐标，设M（x，y），根据$\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CM}$即可求出M点坐标，从而可求得$\overrightarrow{DM}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．

解答 解：如图，分别以边DC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A（0，2），B（2，2），C（4，0），D（0，0）；
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}=（x-4，y）$，$\overrightarrow{CB}=（-2，2）$；
∵$\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CM}$；
∴（-2，2）=3（x-4，y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=3x-12}\\{2=3y}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
∴$M（\frac{10}{3}，\frac{2}{3}）$；
∴$\overrightarrow{DM}=（\frac{10}{3}，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（4，-2）$；
∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AC}=\frac{40}{3}-\frac{4}{3}=12$．
故答案为：12．

点评 考查通过建立平面直角坐标系求向量数量积的方法，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘运算，以及向量数量积的坐标运算．