Question

1．已知抛物线y²=2px（p＞0），点E（2，1），若斜率为2的弦过点E，且以E为弦中点．
（1）求抛物线方程；
（2）若AB是抛物线过点C（0，-3）的任一弦，点M是抛物线准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与抛物线交于P，Q两点，求证：直线PQ的斜率为定值，并求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设弦的端点坐标为（ x₁，y₁）、（ x₂，y₂），则${y_1}^2=2p{x_1}，\;\;{y_2}^2=2p{x_2}$，再根据弦的斜率为2求得p的值，可得抛物线方程．
（2）设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），把AB方程代入抛物线的方程，利用判别式大于零求得m的范围，再把MA的方程代入抛物线的方程，设出弦的端点坐标，利用韦达定理以及斜率公式求得该弦的斜率为定值．根据弦长公式求得弦长PQ的解析式，根据m的范围，利用不等式的性质求出|PQ|的取值范围．

解答 解：（1）设弦的端点坐标为（ x₁，y₁）、（ x₂，y₂），则${y_1}^2=2p{x_1}，\;\;{y_2}^2=2p{x_2}$，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂）．
又$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2p}{{{y_1}+{y_2}}}=p$，求得p=2，抛物线方程为y²=4x．
（2）设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），AB方程：m（y+3）=x，代入y²=4x，y²-4my-12m=0，
由△＞0，求得m＜-3或m＞0，y₃+y₄=4m，y₃•y₄=-12m．
由于点M（-1，0），直线AM：$y=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}（x+1）$，由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，可得${y^2}-4•\frac{{{x_1}+1}}{y_1}y+4=0$，
∴${y_1}{y_p}=4，{y_p}=\frac{4}{y_1}$．
∴点$P（\frac{4}{{{y^2}_1}}，\;\frac{4}{y_1}），Q（\frac{4}{{{y^2}_2}}，\;\frac{4}{y_2}）$，${k_{PQ}}=\frac{{\frac{4}{y_1}-\;\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{{{y^2}_1}}-\frac{4}{{{y^2}_2}}}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{-12m}{4m}=-3$，为定值．
∵$|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|{y_P}-{y_Q}|=\frac{{4\sqrt{10}}}{9}\sqrt{1+\frac{3}{m}}$．
由m＜-3，或m＞0，可得$|PQ|∈（0，\frac{{4\sqrt{10}}}{9}）∪（\frac{{4\sqrt{10}}}{9}，+∞）$．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程的应用，直线的斜率公式，不等式的基本性质，属于中档题．