Question

11．在△ABC中，角A、B、C的对边依次为a，b，c且cos2A+3cosA-1=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{13}$，△ABC的面积是3$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦函数的倍角公式，以及一元二次方程进行求解即可求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{13}$，结合△ABC的面积是3$\sqrt{3}$，以及余弦定理建立方程组关系即可求b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵cos2A+3cosA-1=0．
∴2cos²A+3cosA-2=0．
即cosA=-2（舍）或cosA=$\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{13}$，△ABC的面积是3$\sqrt{3}$，
则S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc=3$\sqrt{3}$，
∴bc=12，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即13=b²+c²-2×$12×\frac{1}{2}$，
即b²+c²=25，
即（b+c）²=25+2bc=25+24=49，
即b+c=7．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据余弦函数的倍角公式以及余弦定理，三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．