Question

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若b=acosC且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为$\frac{1}{3}$．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）依题意，利用正弦定理可得sinAcosC=sinB，再利用诱导公式与两角和的正弦公式得到cosAsinC=0，从而可判断△ABC的形状．
（2）由题意可求最小角所对的边长为：12×$\frac{1}{3}$=4，另一直角边为：$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，从而可求三角形面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵acosC=b，
∴sinAcosC=sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosAsinC=0，sinC＞0，
∴cosA=0，A=90°，
∴△ABC的形状是直角三角形，
（2）∵A=90°，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为$\frac{1}{3}$．
∴最小角所对的边长为：12×$\frac{1}{3}$=4，另一直角边为：$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$4×8\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形的形状的判断及三角形面积的求法，着重考查正弦定理，勾股定理与两角和的正弦公式的应用，属于中档题．