Question

5．（Ⅰ）比较x²+y²+1与2（x+y-1）的大小；
（Ⅱ） 已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差配方即可比较出大小；
（Ⅱ）利用基本不等式即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）x²+y²+1-2（x+y-1）=（x-1）²+（y-1）²+1＞0，
∴x²+y²+1＞2（x+y-1）；
（Ⅱ）（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥2$\sqrt{ab}$•2ab•2$\sqrt{{a}^{3}{b}^{3}}$≥8a³b³，当且仅当a=b时取等号．
问题得以证明．

点评 本题考查了“作差法”、“配方法”“基本不等式”比较数的大小，属于基础题