Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的最小正周期为3π，
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式并求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{2}$]上的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，$\sqrt{3}$a=2csinA，求角C的大小．

Answer 1

分析 （I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（$ωx+\frac{π}{6}$）-1，利用周期公式可求ω，由$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{3π}{2}$，可求范围0≤$\frac{2x}{3}+\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，由正弦函数的图象和性质即可求最小值．
（II）由已知及正弦定理可解得sinC的值，结合a＜b＜c，即可求得C的值．

解答 （本小题满分10分）
解：（I）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2$•\frac{1-cosωx}{2}$=2sin（$ωx+\frac{π}{6}$）-1，…（2分）
函数f（x）的最小正周期为3π，即$\frac{2π}{ω}$=3π，解得$ω=\frac{2}{3}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+$\frac{π}{6}$）-1，…（3分）
因为$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{3π}{2}$，
∴0≤$\frac{2x}{3}+\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；…（4分）
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{2}{3}x$+$\frac{π}{6}$）≤1，…（5分）
∴-2≤f（x）≤1，f（x）_min=-2． …（6分）
（II）因为$\sqrt{3}a=2csinA$，由正弦定理得
∴$\frac{a}{c}=\frac{2sinA}{\sqrt{3}}=\frac{sinA}{sinC}$，…（8分）
又sinA≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（9分）
又因为 a＜b＜c，所以C=$\frac{2π}{3}$．…（10分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．