Question

已知椭圆C: +=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

Answer 1

解:(1)因为焦距为4,

所以a2-b2=4.

又因为椭圆C过点P(,),

所以+=1,

故a2=8,b2=4,

从而椭圆C的方程为+=1.

(2)一定有唯一的公共点.

由题意,E点坐标为(x0,0).

设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).

再由AD⊥AE知,·=0,

即xDx0+8=0.

由于x0y0≠0,故xD=-.

因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G（,0）.

故直线QG的斜率kQG==.

又因Q(x0,y0)在椭圆C上,

所以+2=8.①

从而kQG=-.

故直线QG的方程为

y=-（x-）.②

将②代入椭圆C方程,得

(+2)x2-16x0x+64-16=0.③

再将①代入③,化简得

x2-2x0x+=0.

解得x=x0,y=y0,

即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.