Question

19．若a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为，8．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$，可得a+b≥$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时取等号．可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=2（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$，
∴a+b≥$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时取等号．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=2（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）≥2×$（2+2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}）$=8，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．