Question

（2013•宜宾一模）已知函数f（x）=sin（

π

2

-x）cosx-sinx•cos（π+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在△ABC中，若A为锐角，且f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC边的长．

Answer 1

分析：（I）先将函数化简，再利用正弦函数的单调性，即可得出结论；
（II）先求出A，再利用正弦定理，即可求AC边的长．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（

π

2

-x）cosx-sinx•cos（π+x）=cos²x+sinxcosx…（2分）
=

1

2

（sin2x+cos2x+1）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

…（3分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，可得x∈[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]
所以函数f（x）的单调增区间为：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）  …（5分）
同理可得函数f（x）的单调减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因为f（A）=1，所以

2

2

sin（2A+

π

4

）+

1

2

=1
所以sin（2A+

π

4

）=

2

2

因为A为锐角，所以

π

4

＜2A+

π

4

＜

5π

4

 …（8分）
所以2A+

π

4

=

3π

4

，所以A=

π

4

            …（9分）
在△ABC中，由正弦定理得，

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

2

sin π 4

=

AC

sin π 3

…（11分）
∴AC=

6

   …（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．