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函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
2x+1

(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性并证明.
(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(-0)=-f(0),可得f(0)=0,
当x∈(-1,0)时,f(-x)=
2-x
2-x+1
=
1
2x+1
=-f(x),
∴x∈(-1,0)时,f(x)=-
1
2x+1

综上所述,f(x)=
f(x)=
2x
2x+1
(0<x<1)
0(x=0)
f(x)=-
1
2x+1
(-1<x<0)

(2)∵当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
2x+1

∴令0<x1<x2<1,可得f(x1)-f(x2)=
2x1
2x1+1
-
2x2
2x2+1
=
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)

2x1-2x2<0,(2x1+1)(2x2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0,可得f(x1)<f(x2
由此可得,函数f(x)在(0,1)上的是单调增函数.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
px2+2
-3x
,且f(2)=-
5
3

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x+3
x+4
)
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