【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在
处的切线方程为
,求
和
的值;
(Ⅱ)讨论方程的解的个数,并说明理由.
【答案】(1) ,
;(2)当
时,方程无解;当
或
时,方程有唯一解;当
时,方程
有两解.
【解析】试题分析: (Ⅰ)求出导函数,利用在处的切线方程为
,列出方程组求解
;(Ⅱ)通过
,判断方程的解
出函数的导数判断函数的单调性,求出极小值,分析出当
时,方程无解;当
或
时,方程有唯一解;当
时,方程有两解.
试题解析:(Ⅰ)因为,又
在
处得切线方程为
,
所以,解得
.
(Ⅱ)当时,
在定义域
内恒大于0,此时方程无解.
当时,
在区间
内恒成立,
所以为定义域为增函数,因为
,
所以方程有唯一解.
当时,
.
当时,
,
在区间
内为减函数,
当时,
,
在区间
内为增函数,
所以当时,取得最小值
.
当时,
,无方程解;
当时,
,方程有唯一解.
当时,
,
因为,且
,所以方程
在区间
内有唯一解,
当时,设
,所以
在区间
内为增函数,
又,所以
,即
,故
.
因为,所以
.
所以方程在区间
内有唯一解,所以方程
在区间
内有两解,
综上所述,当时,方程无解.
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【题目】某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200 kg,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.
(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少?
(2)若提供饲料的公司规定:当一次购买饲料不少于5 t时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).该厂是否可以考虑利用此优惠条件?请说明理由.
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【题目】如图,在直角坐标系中,O为坐标原点.动点P在圆
上,过P作y轴的垂线,垂足为N,点M在射线NP上,满足
.
(1)求点M的轨迹G的方程;
(2)过点的直线l交轨迹G 于A,B两点,交圆O于C,D两点.若
,求直线l的方程;
(3)设点Q(3, t)(t∈R,t ≠ 0),且,过点P且垂直于OQ的直线m与OQ交于点E,与x轴交于点F,求△OEF周长最大时的直线m的方程.
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【题目】在△ABC中,设内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且sin(A﹣ )﹣cos(A+
)=
.
(1)求角A的大小;
(2)若a= ,sin2B+cos2C=1,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣2ax(其中a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+ x2 , 且函数g(x)有极大值点x0 , 求证:x0f(x0)+1+ax02>0.
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【题目】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图).由图中数据可知a=________,估计该小学学生身高的中位数为______
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【题目】已知的三个顶点
,其外接圆为圆
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)对于线段(包括端点)上的任意一点
,若在以
为圆心的圆上都存在不同的两点
,使得点
是线段
的中点,求圆
的半径
的取值范围.
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【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=4﹣|x|﹣|x﹣3|
(Ⅰ)求不等式f(x+ )≥0的解集;
(Ⅱ)若p,q,r为正实数,且 =4,求3p+2q+r的最小值.
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