Question

已知空间四点O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，4），
（1）若直线AB上的一点H满足AB⊥OH，求点H的坐标．
（2）若平面ABC上的一点G满足OG⊥面ABC，求点G的坐标．

Answer 1

（1）设

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，则

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)
由

OH

•

AB

=0，得-4+4λ+4λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴H的坐标为（1，1，0）
（2）设G（x，y，z），

AB

=(-2，2，0)，

AC

=(-2，0，4)，由

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0
得

-2x+2y=0 -2x+4z=0

∴

x=2z y=2z

①
又∵G在ABC面上，
∴

AG

=λ

AB

+μ

AC

即（X-2，Y，Z）=（-2λ，2λ，0）+（-2μ，0，4μ）=（-2λ-2μ，2λ，4μ），
∴

x-2=-2λ-2μ y=2λ z=4μ

②由①②得x=

8

9

，y=

8

9

，，z=

4

9

∴H的坐标为(

8

9

，

8

9

，

4

9

)．