Question

19．已知函数f（x）=x|x-a|（a＞0）．
（1）当a=2时，画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若存在互不相等的三个实数x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），试求x₁+x₂+x₃的取值范围；
（3）设函数f（x）在[0，2]上的最大值是g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，作函数f（x）=x|x-2|的图象，从而写出函数的单调递增区间；
（2）不妨设x₁＜x₂＜x₃，结合图象可知，x₁+x₂=a，x₃＞a；从而可解得a＜x₃＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a；从而解得．
（3）结合（2）中的讨论，分三种情况讨论g（a）的值，从而写出表达式．

解答 解：（1）当a=2时，作函数f（x）=x|x-2|的图象如下，

函数的单调递增区间为（-∞，1]，（2，+∞）；
（2）不妨设x₁＜x₂＜x₃，结合图象可知，x₁+x₂=a，x₃＞a；
若x₃（x₃-a）=$\frac{a}{2}$•$\frac{a}{2}$，则x₃=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a；
故a＜x₃＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a；
故2a＜x₁+x₂+x₃＜$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$a；
（3）结合（2）中的讨论可知，
①当$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a＜2，即0＜a＜4（$\sqrt{2}$-1）时，
g（a）=f（2）=2（2-a）；
②当2≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a且a≤4，即4（$\sqrt{2}$-1）≤a≤4时，
g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
③当a＞4时，
g（a）=2|2-a|=2（a-2）；
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2|a-2|，0＜a＜4（\sqrt{2}-1）或a＞4}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，4（\sqrt{2}-1）≤a≤4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了学生的作图与应用图象的能力，同时考查了分类讨论的思想应用．