Question

若实数x₁、y₁、x₂、y₂满足（x₁²+3y₁²-12）²+（x₂-y₂+8）²=0，则（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：函数的性质及应用

分析：化简已知条件，得到两个函数，利用函数的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可．

解答： 解：实数x₁，y₁，x₂，y₂满足（x₁²+3y₁²-12）²+（x₂-y₂+8）²=0，
可得x₁²+3y₁²-12=0，并且x₂-y₂+8=0，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值转化为：函数x₁²+3y₁²-12=0图象上的点与x₂-y₂+8=0图象上的点的距离的最小值，
与直线x₂-y₂+8=0平行的直线的斜率为1，设与x₁²+3y₁²-12=0切点坐标（a，b），则切线方程为：y=x+a-b，
联立方程可得：3（x-a+b）²=12-x²
整理可得：4x²+x（6b-6a）+2a²+3b²-6ab-12=0
故有：△=（6b-6a）²-16×（3a²+3b²-6ab-12）=0
可解得：a-b=-4（a-b=4舍去）
所以与x₂-y₂+8=0平行的直线为：y=x-4，即x-y-4=0
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为：

|-8+4|

2

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查计算能力以及转化思想．