【题目】已知函数,.
(1)若函数在区间上存在零点,求实数的取值范围;
(2)当时,若对任意的、,恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数在上的值城为区间,是否存在常数,使得区间的长度为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(注:区间的长度为).
【答案】(1);(2);(3)存在常数或满足题意.
【解析】
(1)求出函数的对称轴,得到函数的单调性,建立关于的不等式组,解出即可;
(2)依题意,函数在上的最大值小于等于函数在上的最小值,此时可以分离变量,也可以直接求解;
(3)通过讨论的范围,结合函数的单调性以及、的值,得到关于的方程,解出即可.
(1)由题意得,函数的对称轴为,
故函数在区间上为增函数,
函数在区间上存在零点,
,即,解得,故实数的取值范围为;
(2)依题意,函数在上的最大值小于等于函数在上的最小值,
当时,,
易知,函数在上的最大值为.
法一:当时,函数在上为增函数,
则,符合题意;
当时,函数在上为减函数,
则,解得.
综上,实数的取值范围为;
法二:依题意,对任意都成立,
,,则,
当时,则有,显然成立;
当时,则对任意都成立,
则函数为增函数,故,即.
综上,实数的取值范围为;
(3)依题意,解得.
①当时,当时,,,即,,即,
解得;
②当时,当时,,,
,,解得;
③当时,当时,,,
,,解得,不符合,舍去;
综上,存在常数或满足题意.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,右焦点F是抛物线:的焦点,点在抛物线上
求椭圆的方程;
已知斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,,直线AM与BM的斜率乘积为,若在椭圆上存在点N,使,求的面积的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知点轨迹的参数方程为(,为参数),点在曲线上.
(1)求点轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求的最大值.
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【题目】对于函数,若,则称为的“不动点”,若,则称为的“稳定点”,函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,,那么,
(1)求函数的“稳定点”;
(2)求证:;
(3)若,且,求实数的取值范围.
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【题目】设单调函数的定义域为,值域为,如果单调函数使得函数的值域也是,则称函数是函数的一个“保值域函数”.已知定义域为的函数,函数与互为反函数,且是的一个“保值域函数”,是的一个“保值域函数”,则__________.
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【题目】汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过
的型汽车进行惩罚,某检测单位对甲、乙两类型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | 100 | 160 |
经测算发现,乙类型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为.
(Ⅰ)从被检测的5辆甲类型品牌车中任取2辆,则至少有1辆二氧化碳排放量超过的概率是多少?
(Ⅱ)求表中,并比较甲、乙两类型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.
,其中,表示的平均数,表示样本数量,表示个体,表示方差)
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且, .
求证:(1)直线DE平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
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【题目】定义在上的函数满足对于任意实数,都有,且当时,,.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)判断的单调性,并求当时,的最大值及最小值;
(3)解关于的不等式.
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【题目】有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下:
甲公司 | 乙公司 | ||||||||
职位 | A | B | C | D | 职位 | A | B | C | D |
月薪/千元 | 5 | 6 | 7 | 8 | 月薪/千元 | 4 | 6 | 8 | 10 |
获得相应职位概率 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 获得相应职位概率 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
(1)若两人分别去应聘甲、乙两家公司的C职位,记这两人被甲、乙两家公司的C职位录用的人数和为,求的分布列;
(2)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司?说明理由。
(3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用,求小王月薪高于小李的概率。
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