Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足b²=ac
（1）求证：0＜B≤

π

3

（2）求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，利用基本不等式的性质可得ac≥2ac-2accosB，化简整理再利用三角函数的单调性即可得出；
（2）y=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=

2

sin(B+

π

4

)，利用0＜B≤

π

3

，可得(B+

π

4

)∈(

π

4

，

7

12

π]，sin(B+

7π

12

)∈(

2

2

，1]．即可得出．

解答： （1）证明：由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴ac≥2ac-2accosB，
化为cosB≥

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴0＜B≤

π

3

．
（2）y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，
∵0＜B≤

π

3

，∴(B+

π

4

)∈(

π

4

，

7

12

π]，
∴sin(B+

7π

12

)∈(

2

2

，1]．
∴y∈(1，

2

]．

点评：本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．