Question

6．已知球的直径SC=4，AB是该球球面上两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S_△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．

解答 解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2$\sqrt{3}$
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2$\sqrt{3}$，
则SA=SB，AC=BC，
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=$\sqrt{S{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD，
即：棱锥S-ABC的体积：V=$\frac{1}{3}$AB•S_△SCD，
因为：SD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，SC=4，
所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD²+CD²-SC²）$•\frac{1}{2SD•CD}$=（$\frac{45}{4}+\frac{13}{4}$-16）×$\frac{1}{2×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{65}}$，
则：sin∠SDC=$\sqrt{1-\frac{1}{65}}$=$\frac{8}{\sqrt{65}}$，
由三角形面积公式得△SCD的面积S=$\frac{1}{2}$SD•CD•sin∠SDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{8}{\sqrt{65}}$=3
所以：棱锥S-ABC的体积：V=$\frac{1}{3}$AB•S_△SCD=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．