Question

11．一底面半径为r，母线长为3r的圆锥内有一内接正方体，则该正方体的表面积为$\frac{16{r}^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据几何体作出轴截面，由图和题意列出圆锥的半径和正方体棱长的关系式，求出它们的长度关系，再代入对应的面积公式，求出表面积值．

解答 解：作出几何体的轴截面如图：
由题意圆锥的底面半径为r，母线长l=3r，
则圆锥的高h=2$\sqrt{2}$r，设正方体的棱长为a，
由轴截面得，$\frac{h-a}{h}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2r}$，解得a=$\frac{2\sqrt{2}r}{3}$，
则该正方体的表面积为6a²=6×$\frac{8}{9}$r²=$\frac{16{r}^{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{16{r}^{2}}{3}$．

点评 本题考查了利用几何体的轴截面分析量的等量关系，注意不同量的转化，考查了空间想象能力．