Question

2．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$．
（1）当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，求函数y=f（x）的值域；
（2）已知ω＞0，函数$g（x）=f（{\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}}）$，若函数g（x）的最小正周期是π，求ω的值和函数g（x）的增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和辅助角公式对已知函数解析式进行化简得到f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．
（2）将$g（x）=f（{\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}}）$代入（1）中的函数解析式得到g（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+2，结合正弦函数的性质求ω的值和函数g（x）的增区间．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{3}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$$∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{3}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2≤3，即当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，函数y=f（x）的值域是[$\frac{3}{2}$，3]；
（2）$g（x）=f（{\frac{ωx}{2}+\frac{π}{12}}）=sin（{ωx+\frac{π}{3}}）+2$，
所以$T=\frac{2π}{ω}=π，ω=2$，
因为$\begin{array}{l}-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ\end{array}$，
所以增区间为[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．