Question

7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F₁，F₂，P是它们的一个交点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，记椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则当e₁e₂取最小值时，e₁，e₂分别为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$（a₁＞0，b₁＞0），利用定义可得：m+n=2a，m-n=2a₁，解出m，n．利用余弦定理可得关于e₁，e₂的等式，再由基本不等式求得当e₁e₂取最小值时，e₁，e₂的值．

解答 解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$（a₁＞0，b₁＞0），
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．m＞n．
则m+n=2a，m-n=2a₁，
∴m=a+a₁，n=a-a₁．
cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-4{c}^{2}}{2mn}=\frac{1}{2}$，
化为：$（a+{a}_{1}）^{2}+（a-{a}_{1}）^{2}-4{c}^{2}$=（a+a₁）（a-a₁）．
∴${a}^{2}+3{{a}_{1}}^{2}$-4c²=0，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
∴4≥2$\sqrt{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}•\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}}$，则$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}≤\frac{2}{\sqrt{3}}$，即${e}_{1}{e}_{2}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当e₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，e₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．