Question

16．向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1，3），$\overrightarrow{b}$=（-4，2，x），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则x=$\frac{10}{3}$；若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角是锐角，则x 的取值范围$（\frac{10}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 ①由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x=0，解得x．
②由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角是锐角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x＞0，解得x范围．若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2=-4λ}\\{-1=2λ}\\{3=xλ}\end{array}\right.$，解得x，进而得出范围．

解答 解：①∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x=0，解得x=$\frac{10}{3}$．
②∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角是锐角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x＞0，解得x＞$\frac{10}{3}$．
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-4λ}\\{-1=2λ}\\{3=xλ}\end{array}\right.$，解得x=-6＜$\frac{10}{3}$．
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角是锐角，则x 的取值范围是$（\frac{10}{3}，+∞）$．
故答案为：$\frac{10}{3}$；$（\frac{10}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．