Question

17．已知关于x的方程（t+1）cosx-tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是-1．

Answer 1

分析 分离参数可得t=$\frac{2-cosx}{cosx-sinx-1}$，利用导数判断右侧函数的单调性求出最大值即可．

解答 解：∵（t+1）cosx-tsinx=t+2，
∴t=$\frac{2-cosx}{cosx-sinx-1}$，
令f（x）=$\frac{2-cosx}{cosx-sinx-1}$，
则f′（x）=$\frac{sinx（cosx-sinx-1）-（2-cosx）（-sinx-cosx）}{（cosx-sinx-1）^{2}}$=$\frac{sinx+2cosx-1}{（cosx-sinx-1）^{2}}$，
令g（x）=sinx+2cosx-1，则g′（x）=cosx-2sinx，
∴当x=arctan$\frac{1}{2}$时，g′（x）=0，当0＜x＜arctan$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，当arctan$\frac{1}{2}$＜x＜π时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，arctan$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（arctan$\frac{1}{2}$，π）上单调递减，
又g（0）=1，g（π）=-3，
∴g（x）在（0，π）上只有一个零点，又g（$\frac{π}{2}$）=0，
∴当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，g（x）＞0，当$\frac{π}{2}$＜x＜π时，g（x）＜0，
∴当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，f′（x）＞0，当$\frac{π}{2}$＜x＜π时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，在（$\frac{π}{2}$，0）上单调递减，
∴当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值f（$\frac{π}{2}$）=-1．
∴t的最大值为-1．
故答案为-1．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．