Question

4．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n（n∈N^*）．若{a_n}为等差数列，且a₁=2，b₃=64b₂．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设${c_n}=（{{a_n}+n+1}）•{2^{{a_n}-2}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n并比较$\frac{n}{{T}_{n}}$与$\frac{1}{3n+10}$的大小（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₃=$lo{g}_{2}\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$及a₁=2可得d=2，进而可得a_n=2n，利用a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n可得b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）通过（I）及c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$可得T_n、4T_n的表达式，利用错位相减法计算即得T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．通过化简可得比较$\frac{n}{{T}_{n}}$与$\frac{1}{3n+10}$的大小就是比较4ⁿ与3n+10的大小，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：a₁+a₂+a₃=log₂b₃，a₁+a₂=log₂b₂，
两式相减可得：a₃=$lo{g}_{2}\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=log₂64=6，
∵a₁=2，∴d=2，∴a_n=2n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$2•\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）=log₂b_n，
∴b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）由题意c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$=（3n+1）4^n-1，
∴T_n=4+7•4+10•4²+…+（3n+1）•4^n-1，
4T_n=4•4+7•4²+10•4³+…+（3n+1）•4ⁿ，
两式相减得：-3T_n=4+3•4+3•4²+…+3•4^n-1-（3n+1）•4ⁿ
=4+3（4+4²+…+4^n-1）-（3n+1）•4ⁿ
=4+3•$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-3}$-（3n+1）•4ⁿ，
整理得：T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．
∴$\frac{n}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，即比较$\frac{n}{{T}_{n}}$与$\frac{1}{3n+10}$的大小就是比较4ⁿ与3n+10的大小．
当n=1时，4＜13，有4ⁿ＜3n+10，
当n=2时，16=16，有4ⁿ=3n+10，
当n=3时，64＞19，有4ⁿ＞3n+10，
猜测：当n≥3时，有4ⁿ＞3n+10（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=3时显然成立；
（2）假设当n=k（k≥3，k∈N^*）时，4^k＞3k+10．
则当n=k+1时，4^k+1=4•4^k＞4（3k+10）=[3（k+1）+10]+9k+27＞3（k+1）+10，
即当n=k+1时，4ⁿ＞3n+10成立；
综上所述，当n≥3时，有4ⁿ＞3n+10（n∈N^*）．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，考查数学归纳法，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于难题．