Question

13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACEF为矩形，且AF⊥AB，CE=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACEF；
（Ⅱ）若点P为线段BE的中点，求四棱锥P-ACEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证BC⊥平面ACEF，已知条件平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，只要证明BC⊥AC即可，
根据已知条件，通过解三角形得到BC⊥AC，则结论得到证明；
（Ⅱ）由BC⊥平面ACEF，可得BC为点B到平面ACEF的距离，利用棱锥的体积公式，即可求四棱锥P-ACEF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AC•BCcos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，
又四边形ACEF为矩形，
∴AF⊥AC，
∵AF⊥AB，AB∩AC=A，
∴AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BC，
∵AF∩AC=A，
∴BC⊥平面ACEF；
（Ⅱ）解：由BC⊥平面ACEF，可得BC为点B到平面ACEF的距离，
由于点P为线段BE的中点，则点P到平面ACEF的距离为h=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∵S_矩形ACEF=$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-ACEF的体积为$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，考查棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．