Question

1．如图，曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（y≤0）；曲线C₂：x²=4y，自曲线C₁上一点A作C₂的两条切线，切点分别为B，C．
（Ⅰ）当AB⊥AC时，求点A的纵坐标；
（Ⅱ）当△ABC面积最大值时，求直线BC的概率k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设B（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），对y=$\frac{{x}^{2}}{4}$求导函数，计算可得A（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0计算即得结论；
（Ⅱ）通过设l_BC：y=kx+b，并与曲线C₂联立，利用韦达定理可得|x₁-x₂|=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，A（2k，-b），k²+b²=4（0≤b≤2），根据三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设B（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
由y=$\frac{{x}^{2}}{4}$可知y′=$\frac{1}{2}$x，
过B点的切线为：y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
过C点的切线为：y=$\frac{{x}_{2}x}{2}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，
则A（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），
从而$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$，$\frac{{x}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{4}$），
∵AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，
即$\frac{-（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$+$\frac{-{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{16}$=0，解得$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，
∴点A的纵坐标为-1；
（Ⅱ）设l_BC：y=kx+b，并与曲线C₂联立，
消去y得：x²-4kx-4b=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
则|x₁-x₂|=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，A（2k，-b），$\frac{4{k}^{2}}{16}+\frac{{b}^{2}}{4}=1$，
则k²+b²=4（0≤b≤2），
又A到直线BC的距离d=$\frac{|-2{k}^{2}-2b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|$\frac{|-2{k}^{2}-2b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$|k²+b|=4$（{k}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$
=4$（4-{b}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$=4$[{-（b-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{17}{4}]}^{\frac{3}{2}}$≤$\frac{17\sqrt{17}}{2}$，
∴当b=$\frac{1}{2}$时△ABC面积取最大值，
此时k²=4-b²=$\frac{15}{4}$，解得直线BC的概率k=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及韦达定理、点到直线的距离、斜率、配方法、向量数量积运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．