Question

4．在△ABC中$A=\frac{π}{3}，b+c=4，E、F$为边BC的三等分点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{26}{9}$
• D． 3

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$，得出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$关于bc的函数，利用基本不等式得出最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
∵b+c=4，
∴b²+c²=16-2bc，$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{2}{9}$（16-2bc），$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{9}$bccosA=$\frac{5}{18}$bc，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{9}$（16-2bc）+$\frac{5bc}{18}$=$\frac{32}{9}$-$\frac{3}{18}$bc，
∵bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=4，
∴当bc=4时，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$取得最小值$\frac{32}{9}-\frac{3}{18}×4$=$\frac{26}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．