Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1•a_n-2•a_n+1=0 （n∈N^*）．
（1）求$\frac{1}{{a}_{2}-1}$，$\frac{1}{{a}_{3}-1}$，$\frac{1}{{a}_{4}-1}$的值；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）化简可得a_n+1=2-$\frac{1}{an}$，n依次取值2，3，4求得；
（2）猜想{$\frac{1}{an-1}$}是等差数列，从而证明，从而写出$\frac{1}{an-1}$=$\frac{1}{2}$+n-1，从而解得．

解答 解：（1）由a_n+1a_n=2•a_n-1得a_n+1=2-$\frac{1}{an}$，
代入a₁=3，n依次取值2，3，4，得
$\frac{1}{a2-1}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a3-1}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{a4-1}$=$\frac{7}{2}$，
（2）猜想：{$\frac{1}{an-1}$}是等差数列．
证明：由a_n+1•a_n=2•a_n-1变形得，
（a_n+1-1）•（a_n-1）=-（a_n+1-1）+（a_n-1），
即$\frac{1}{an+1-1}$-$\frac{1}{an-1}$=1在n∈N^*时恒成立，
所以{$\frac{1}{an-1}$}是等差数列．
由$\frac{1}{a1-1}$=$\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{an-1}$=$\frac{1}{2}$+n-1，
变形得a_n-1=$\frac{2}{2n-1}$，
所以a_n=$\frac{2n+1}{2n-1}$．

点评 本题考查了数列的性质，同时考查了整体思想与转化思想的应用，同时考查了归纳法的应用．