Question

15．（1）设二次函数f（x）的图象与y轴交于（0，-3），与x轴交于（3，0）和（-1，0），求函数f（x）的解析式
（2）若f（x+1）=3x-5 求函数f（x）的解析式
（3）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），求函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c，图象与y轴交于（0，-3），与x轴交于（3，0）和（-1，0），求解a，b，c的值，可得f（x）的解析式．
（2）利用换元法求解函数f（x）的解析式
（3）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），即可求x＜0时的解析式．

解答 解：由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c，
∵图象与y轴交于（0，-3），
∴c=-3．
∵与x轴交于（3，0）和（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-3=0}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-2
故得函数f（x）的解析式的为：f（x）=x²-2x-3．
（2）∵f（x+1）=3x-5 
令t=x+1，则x=t-1，
那么f（x+1）=3x-5转化为g（t）=3（t-1）-5=3t-8
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=3x-8．
（3）函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（-x）=-f（x）．
当x≥0时，f（x）=x（1+x），
当x＜0时，则-x＞0，那么f（-x）=-x（1-x）=-f（x）
∴f（x）=x（1-x）
函数f（x）的解析式的为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（x+1），（x≥0）}\\{x（1-x），（x＜0）}\end{array}\right.$

点评 本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，换元法和函数的性质．比较基础．