Question

2．数列{a_n}中，a₁=3，对任意n∈N^*，向量$\overrightarrow{a}$=（a_n+1，3）与$\overrightarrow{b}$=（a_n，1）都平行，数列{b_n}满足b_n=31-31log₃a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和B_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过向量$\overrightarrow{a}$=（a_n+1，3）与$\overrightarrow{b}$=（a_n，1）都平行可知a_n+1=3a_n，进而利用等比数列的通项公式可知a_n=3ⁿ；
（2）通过（1）可知b_n=31-31n，进而可知B_n=$-\frac{31}{2}$[$（n-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$]，结合二次函数的性质可得结论．

解答 解：（1）因为对任意n∈N^*，向量$\overrightarrow{a}$=（a_n+1，3）与$\overrightarrow{b}$=（a_n，1）都平行，
所以a_n+1=3a_n，
又因为a₁=3，
所以a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=31-31log₃a_n=31-31$lo{g}_{3}{3}^{n}$=31-31n，
所以B_n=31n-31•$\frac{n（n+1）}{2}$=$-\frac{31}{2}$[$（n-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$]，
显然当n=1时B_n取最大值B₁=0．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及向量平行的坐标表示、对数的运算性质、等差数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．