Question

4．已知函数$f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，$f（-\frac{π}{4}）=0$，$f（\frac{π}{4}-x）=f（\frac{π}{4}+x）$，且f（x）在$（\frac{π}{18}，\frac{2π}{9}）$上单调，则ω的最大值为5．

Answer 1

分析 根据f（-$\frac{π}{4}$）=0和$f（\frac{π}{4}-x）=f（\frac{π}{4}+x）$，求出φ=$\frac{π}{4}$，ω=-4k+1，k∈Z；
根据f（x）在$（\frac{π}{18}，\frac{2π}{9}）$上单调，得出$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{T}{2}$，从而求出ω的最大值．

解答 解：函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∴f（-$\frac{π}{4}$）=2sin（-$\frac{π}{4}$ω+φ）=0，
∴-$\frac{π}{4}$ω+φ=kπ，k∈Z①；
又$f（\frac{π}{4}-x）=f（\frac{π}{4}+x）$，
∴x=$\frac{π}{4}$是f（x）图象的对称轴，
∴$\frac{π}{4}$ω+φ=k′π+$\frac{π}{2}$，k′∈Z②；
由①②得，φ=$\frac{k+k′}{2}$π+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴取φ=$\frac{π}{4}$，且ω=-4k+1，k∈Z；
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$；
又f（x）在$（\frac{π}{18}，\frac{2π}{9}）$上单调，
∴$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{π}{ω}$，即$\frac{1}{6}$≤$\frac{1}{ω}$，
解得ω≤6；
综上，ω的最大值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是中档题．