Question

11．已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=（　　）

• A． 1
• B． e
• C． $\frac{1}{e}$
• D． 0

Answer 1

分析 求出${f}^{'}（x）=\frac{a}{x}+1$，${f}^{'}（a）=\frac{a}{a}+1=2$，f（a）=alna+a，由此导数的几何意义求出曲线f（x）在x=a处的切线方程为y-alna-a=2（x-a），再由曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，能求出a．

解答 解：∵f（x）=alnx+x，∴${f}^{'}（x）=\frac{a}{x}+1$，
∴${f}^{'}（a）=\frac{a}{a}+1=2$，
∵f（a）=alna+a，
∴曲线f（x）在x=a处的切线方程为y-alna-a=2（x-a），
∵曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，
∴-alna-a=-2a，解得a=e．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，具体涉及到导数、切线方程、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．