Question

16．如图，已知在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，若PC=BC=8，AB=4，E，F分别是PA，PB的中点，设三棱锥P-CEF的外接球的球心为O，则△AOB的面积为8$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过O作OH⊥平面PCF，则垂足H为PC中点，证明AB⊥平面PBC得出OH∥AB，故而O到AB的距离为BH的长，代入面积公式即可求出答案．

解答 解：∵PC=CB，F是PB的中点，
∴CF⊥PF，即△PCF是直角三角形．
过O作OH⊥平面PCF，垂足为H，则H是PC的中点，
∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB，又AB⊥BC，PC∩BC=C，
∴AB⊥平面PBC，又OH⊥平面PBC，
∴OH∥AB，
连结BH，则BH为O到AB的距离，
由勾股定理得BH=$\sqrt{B{C}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×AB×BH$=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
故答案为：8$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了空间距离的计算，棱锥与球的位置关系，属于中档题．