Question

6．设f（x）满足f（-x）=-f（x），且在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]，当a∈[-1，1]时都成立，则t的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$≤t≤$\frac{1}{2}$
• B． -2≤t≤2
• C． t≥$\frac{1}{2}$或t≤-$\frac{1}{2}$或t=0
• D． t≥2或t≤-2或t=0

Answer 1

分析 有f（-1）=-1得f（1）=1，f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，只需要比较f（x）的最大值与t²-2at+1即可．

解答 解：若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，
∴1≤t²-2at+1?2at-t²≤0，
设g（a）=2at-t²（-1≤a≤1），
欲使2at-t²≤0恒成立，
则 $\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$?t≥2或t=0或t≤-2．
故选：D．

点评 本题把函数的奇偶性，单调性与最值放在一起综合考查，是道函数方面的好题．