Question

18．正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y-5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，
（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；
（Ⅱ）设正方形中心G（x₀，y₀），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设中心所在直线为x+3y+c=0，结合正方形的性质和平行线间的距离公式求得c的值；
（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长．设正方形BC，AD所方程为3x-y+m=0，联立点G所在直线x₀+3y₀+1=0，得到$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-3m+5}{10}\\ y=\frac{m+15}{10}\end{array}$．结合限制性条件正方形仅有两个顶点在第一象限，得到-15＜m＜$\frac{5}{3}$，易求x₀的取值范围为$（\frac{6}{5}，\frac{13}{5}）$．

解答 解：（Ⅰ）由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y-5=0，
设中心所在直线为x+3y+c=0，
由平行线间的距离公式得$\frac{|c+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|c-7|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$．
解得c=1．
则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；
（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长为d=$\frac{|7+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{12}{\sqrt{10}}$．
设正方形BC，AD所在直线方程为3x-y+m=0，
由于中心G（x₀，y₀）到BC的距离等于$\frac{d}{2}$=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，
那么$\frac{|3{x}_{0}-{y}_{0}+m|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{6}{\sqrt{10}}$，
解得m=±6-3x₀+y₀ ①，
又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x₀+3y₀+1=0，即y₀=-$\frac{{x}_{0}+1}{3}$②，
把②代入①得m=±6-$\frac{10{x}_{0}+1}{3}$③，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5=0\\ 3x-y+m=0\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-3m+5}{10}\\ y=\frac{m+15}{10}\end{array}$．
由于正方形只有两个点在第一象限，那么$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\end{array}$，
就是$\left\{\begin{array}{l}\frac{-3m+5}{10}＞0\\ \frac{m+15}{10}＞0\end{array}$，
解得-15＜m＜$\frac{5}{3}$⑤，
把③代入⑤得到-15＜±6-$\frac{10{x}_{0}+1}{3}$＜$\frac{5}{3}$，
解得$\frac{6}{5}$＜x₀＜$\frac{13}{5}$．
故x₀的取值范围为$（\frac{6}{5}，\frac{13}{5}）$．

点评 本题考查两平行直线的距离公式的运用，待定系数法求直线方程以及正方形的性质，考查运算能力，属于中档题．