Question

设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，（x∈R），下列四个命题中真命题的序号是

 

．
（1）f（x）是偶函数；              
（2）不等式f（x）＜2013×2014的解集为∅；
（3）f（x）在（0，+∞）上是增函数；   
（4）方程f（a²-5a+6）=f（a-2）有无数个实根．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由函数的解析式可得函数为偶函数，可得（1）正确；由绝对值的意义可得f（x）≥2014×2015，故（2）正确；由于f（

1

2

）=f（1），可得（3）不正确．
由f（a²-5a+6）=f（a-2），可得a²-5a+6=a-2，或 a²-5a+6=-（a-2 ），或

-1≤a2-5a+1≤1 -1≤a-2≤1

，求得a的值有无数个，可得（4）正确，从而得到答案．

解答： 解析：∵f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2014|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2014|
=|1-x|+|2-x|+…+|2014-x|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|=f（x），
∴f（x）为偶函数，故（1）正确．
根据绝对值的几何意义可得f（x）=（|x+1|+|x-1|）+（|x+2|+|x-2|）+（|x+3|+|x-3|）+…+（|x+2014|+|x-2014|）
≥2+4+6+…+4028=

2014(2+4028)

2

=2014×2015，当且仅当-1≤x≤1时，取等号．
∴不等式f（x）＜2013×2014的解集为∅，故（2）正确．
由于f（

1

2

）=f（1），显然函数f（x）在（0，+∞）上不是增函数，故（3）不正确．
由于f（a²-5a+6）=f（a-2），且函数f（x）为偶函数，∴a²-5a+6=a-2，或 a²-5a+6=-（a-2），或

-1≤a2-5a+1≤1 -1≤a-2≤1

．
解得a=2，或 a=4，或

5- 5

2

≤a≤3，故方程f（a²-5a+6）=f（a-2）有无数个实根，故（4）正确．
故答案为：（1）、（2）、（4）．

点评：本题主要考查绝对值的意义和性质，函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．