Question

如图，有一块正方形区域ABCD，现在要划出一个直角三角形AEF区域进行绿化，满足：EF=1米，设角AEF=θ，θ∈[

π

6

，

π

3

]，边界AE，AF，EF的费用为每米1万元，区域内的费用为每平方米4万元．
（1）求总费用y关于θ的函数．
（2）求最小的总费用和对应θ的值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出三角形的各边长和面积，然后表示出费用即可．
（2）令t=sinθ+cosθ，则y=t²+t，判断出在区间内单调递增，继而求出最值．

解答： 解：（1）由题意可知，AE=cosθ，AF=sinθ，S△AEF=

1

2

sinθcosθ
则y=(sinθ+cosθ+1)×1+

1

2

sinθcosθ×4
即 y=sinθ+cosθ+1+2sinθcosθ，θ∈[

π

6

，

π

3

]
（2）令t=sinθ+cosθ，则2sinθcosθ=t²-1
又t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，θ∈[

π

6

，

π

3

]所以t∈[

1+ 3

2

，

2

]
则y=t²+t，它在[

1+ 3

2

，

2

]单调递增．
所以t=

1+ 3

2

，即θ=

π

6

或θ=

π

3

时，y取到最小值

3

2

+

3

点评：本题主要考查函数解析式的求法和最值得求法，属于基础题．