Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（C）=1，若c=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用三角函数性质求得函数的单调增区间．
（2）利用f（C）=1求得C，进而利用余弦定理建立关于a和b的等式，利用基本不等式求得ab的最大值，进而利用三角函数面积公式求得面积的最大值．

解答： 解：f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，函数单调增，
∴函数f（x）的递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）∵0＜C＜π，
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

，
∵f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，
∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∴2C+

π

6

=

5π

6

，C=

π

3

∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∴ab=a²+b²-c²≥2ab-c²，
又∵c=4
∴ab≤16，
∴S_△ABC=

1

2

absin

π

3

=

3

4

ab≤4

3

，
故△ABC面积的最大值是4

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生基础知识的考查．